共轴共焦双曲导体柱板间的电场与电容

由于长直共轴共焦双曲导体柱板在空间产生的电场分布与轴无关，可作为平面场问题进行研究，取其横截面建立图1所示坐标系。文献[1]、[2]采用等值坐标对双曲柱板间的电场和电容分别进行了分析，方法虽然简单，但若不熟悉椭圆柱坐标，则颇感费解。本文利用解析函数的性质，通过等势线方程导出了共轴共焦双曲柱板间的电场及单位长度的电容，并对一些特例进行了讨论。

1 等势线方程

共焦双曲线是到两焦点(-c,O)、(c,O)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点轨迹，即

(1)

式中取不同的a可得到不同的共焦双曲线

图1为实半轴分别为a1，a2的共焦双曲柱板l1、l2，其电势分别为u1、u2，由于板间电势满足拉普拉斯方程，且两板为等势面，故两双曲柱板间的等势线方程亦为式(1)。

2 电势和电场强度

若将电势看作是某解析函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)的实部u(x,y)，则u(x,y)必为调和函数[3]，令u(x,y)=任意常数，便可得到等势线方程。能否令显然不能，因为这时的u(x,y)不是调和函数。要得到满足拉普拉斯方程的电势函数，可令

(2)

整理为

积分两次得

即

(3)

将u1、a1；u2、a2代入(3)式得

整理式(3)即为两双曲导体柱板间的电势分布，即

(4)

(5)

电场强度的大小为

(6)

在双曲柱板li(i=1,2)上，由式(1)知

故柱板上的电荷面密度大小为

(7)

由式(7)可知双曲柱面上的电荷分布是不均匀的，在曲面柱弧顶(ai,O)处，电荷面密度最大，其值为随着坐标(x,y)的增大，双曲柱面上σi逐渐减小。

3 电容

式(1)的参数方程为

(8)

在双曲线上任取一线元整理式(7)得若l2末端的坐标为(x,y)，则沿轴线方向单位长度双曲柱板l2上的电荷量为

共焦双曲柱板间沿轴线方向单位长度的电容为

(9)

显然，这种完全开放型柱板间的电容随着柱板长度在变化。

4 讨论

令a2=c，由式(8)知x≥c,y=0。说明l2退化成从焦点(c,O)沿着x轴延伸至无穷远的导体平面，如图2所示，由式(4)可知l2上的电势仍为等势板；l1、l2上的电荷面密度由式(7)可知

显然在焦点处，σ2无穷大，随着x的增大， σ2逐渐减小，在x较大处，σ2→0。所以l2上单位长度的电荷量为(x为对应σ2→0 处的坐标 )则双曲柱面与半无限长导体平面间单位长度的电容为

1) 在l2退化成导体平面的基础上，再令a1=0，由式(8)知x=0,-∞<y<∞，说明l1退化成沿着y轴的无限大导体平面，如图3所示，由式(4)可知l1上的电势u=u1，没有变化；l1、l2上的电荷面密度由式(7)可知结果与文献[1]相同， 则无限大导体平面与相隔一定距离互相垂直的半无限大导体平面间单位长度的电容为

2) 在l2退化成导体平面的基础上，再令a1=-c，由式(8)知x≤-c,y=0，说明l1退化成从焦点(-c,0)沿着x轴负向延伸至无穷远的导体平面，如图4所示，l1、l2上的电荷面密度由式(7)可知

结果与文献[1]相同，则相隔2c距离的两半无限大共面导体平面间单位长度的电容为可见两无限大导体平面间的电容跟它们间的位置、夹角是有关系的。

上述特例计算的都是导体板上电荷面密度的大小，没有考虑电荷的正负，而实际的极板都是一个带正电，一个带负电。这些特例在基本静电系统中都是较为重要的空间配置，直接计算它们的电荷分布及电容较为困难，而采用本文的方法极为简单地给出了这些具有重要意义的结果。

参考文献

[1] 陈梦姣，陈钢，周权，等．椭圆坐标下等值坐标带电导体柱的电势与电场分布[J]．大学物理，2012，31(6)：17-20.

[2] 陈钢，李成金．共焦椭圆柱等值坐标电容器的电容[J]．大学物理，2012，31(08)：11-14.

[3] 梁昆淼．数学物理方法[M]．北京：高等教育出版社，2002.13.

基金项目: 河北科技大学教育教学改革项目(2014-YB012)资助。

作者简介: 贾秀敏，副教授，主要从事普通物理的教学与研究，[e-mail]。

引文格式: 贾秀敏，白占国. 共轴共焦双曲导体柱板间的电场与电容[J]. 物理与工程，2019，29(3)：52-54.

END

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